投資の内部収益率

次の二つのうち,どちらの投資の方が収益性が高いでしょうか?

  • 現在1000万円を投じれば,翌年から10年間にわたって毎年160万円を受け取ることができる
  • 現在1000万円を投じれば,翌年から30年間にわたって毎年80万円を受け取ることができる

この二つの投資は,費用が同じですが収益のパターンが異なり,単純にどちらが良いかを比較することはできません。そこで,投資から得られる収益を計測するための指標としてよく用いられるのが内部収益率という概念です。内部収益率を用いれば,異なるパターンをもつ投資の収益を比較することができます。

内部収益率のことを説明するために,まず割引現在価値という概念を定義しましょう。割引現在価値とは,将来の費用や便益を割り引いて現在の価値に換算したものです。また,一年後のことを現在と比較してどれだけ割り引いて考えるかという比率のことを割引率といいます。たとえば,割引率が5%であれば,一年後の1万円の割引現在価値は,\( \frac{10,000}{1+0.05}=9,524\)円ということになります。同様に,二年後の1万円の割引現在価値は,\( \frac{10,000}{(1+0.05)^2}=9,070\)円です。

より一般的に,\(n\)年後の\(A\)円の割引現在価値\(PV\)は,
\(PV=\frac{1}{(1+r)^n}A\)
となります。

割引率が5%であれば,上の二つの投資から得られる収益の割引現在価値は,

  • \(PV=\sum_{i=1}^{10} \frac{160}{(1+0.05)^i}=1,235\)
  • \(PV=\sum_{i=1}^{30} \frac{80}{(1+0.05)^i}=1,230\)

となるので,10年間にわたって160万円を受け取る方が良い投資だということになります。

投資の内部収益率というのは,投資の費用と便益の割引現在価値が等しくなるような割引率のことです。この例では,どちらの投資の費用も現在支払う1000万円だけですから,割り引いて考える必要がありません。したがって,その後受け取る金額の割引現在価値がちょうど1000万円になるような割引率が投資の内部収益率ということになります。すなわち,

  • \(1,000=\sum_{i=1}^{10} \frac{160}{(1+r_1)^i}\)
  • \(1,000=\sum_{i=1}^{30} \frac{80}{(1+r_2)^i}\)

を満たすような\(r_1,r_2\)がそれぞれの投資の内部収益率です。

実際に上の式を満たすような\(r_1,r_2\)を求める計算式はありませんが,ExcelのIRR関数を用いれば簡単に計算することができます。この場合,\(r_1\)は約0.10(10%),\(r_2\)は約0.07(7%)です。

 

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